문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수학의 기본정리 (문단 편집) === 루셰의 정리를 이용한 증명방법 === 이 증명은 복소해석학의 루셰의 정리(Rouché's theorem)를 이용한 증명방법이다. 한 가지 재밌는 특징이 뭐냐면, 리우빌의 정리를 통한 증명은 '''적어도 영점이 1개 있다'''만을 보장하는데 반해서, 루셰의 정리는 '''n차 방정식은 중근을 포함하여 정확하게 n개의 영점을 갖는다'''라는 사실을 추가적인 과정 없이 바로 보장한다는 것이다.[* 사실 근을 하나라도 항상 갖는다는 것만 보여도 n차 방정식이 중근을 포함하여 정확하게 n개의 영점을 갖는다는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 아래의 따름정리에서 소개한다.] 먼저 루셰의 정리는 다음과 같다. || 경로 [math(C)]는 다음 조건을 만족시키는 단순 닫힌경로다. (a) 두 함수 [math(f(z))]와 [math(g(z))]는 [math(C)]와 그 안쪽에서 해석적이다. (b) [math(C)]에 있는 모든 점에서 [math(\left|f(z)\right|>\left|g(z)\right|)]가 성립한다. 이때, '''[math(C)]의 내부에서 [math(f(z))]와 [math(f(z)+g(z))]의 근의 수는 중근을 포함하여 같다.''' || ||루셰의 정리를 기반으로 하는 대수학의 기본정리의 증명 || ||정리: 임의의 [math(n)]([math(n\geq 1)])차 방정식은 중근을 따로 셌을 때, 복소평면상에서 정확히 [math(n)]개의 근을 갖는다. 즉, [math(P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n \left(a_n\neq0\right))]일 때, 중복을 허가하여 n개의 복소수 [math(z_k)]가 존재하여, [math(P(z_k)=0)]이 성립한다. || ||[math(P(z)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^k})] (단 [math(a_n\neq0)])라고 하자. 이제, 최대차항을 따로 떼어내서 [math(P(z)=f(z)+g(z))]라고 분리하자. 즉, [math(f(z)=a_{n}z^n)], [math(g(z)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}z^k})]라고 두자. 일반화된 삼각부등식에 의해서, [math(\left|g(z)\right|\leq\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}z^{k}\right|})]임은 자명하다. 이제 [math(z)]를 원 [math(R>1)] 상의 복소수. 즉, [math(\left|z\right|=R>1)]이라고 두자. 그렇다면, [math(\left|g(z)\right|\leq\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}z^{k}\right|=\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|R^{k}\leq\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|R^{n-1}})]임도 자명하다. 가장 마지막을 다시 정리하면 [math(\left|g(z)\right|\leq\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|R^{n-1}=R^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|})]가 된다.([math(R>1)]이기 때문.) 이제, [math(R>\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|}}{\left|a_n\right|}})]라는 조건을 추가로 주자. 그러면 정리하게 되면 [math(\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|}<\left|a_n\right|R)]이 성립하므로, 이를 위의 식에 대입해보자. [math(\left|g(z)\right|\leq\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|R^{n-1}=R^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|}\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|}}{\left|a_n\right|}}, R>1)]이라는 조건을 만족하는 경로 위에서 항상 [math(\left|f(z)\right|>\left|g(z)\right|)]가 성립하므로, 루셰의 정리를 적용할 수 있다. 즉, [math(f(z)+g(z)=P(z))]와 [math(f(z))]는 [math(R>\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|}}{\left|a_n\right|}}, R>1)]의 조건을 만족하는[br]모든 양의 실수 [math(R)]에 대하여 [math(C:\left|z\right|=R)] 내부에서 영점의 개수가 같게 된다. 그런데, [math(a_n\neq 0)]이므로 [math(f(z))]는 [math(z=0)]에서 중복을 허가하여 [math(n)]개의 근을 갖는다. 이와 [math(P(z))]의 영점의 개수가 같아야 하므로, '''따라서 [math(P(z))]는 복소평면상에서 [math(n)]개의 중복을 허용한 근을 갖게 된다.([[Q.E.D.]])''' ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기